Transport de couleurs — théorie et ajustement par étirement

Le transport de couleurs de NebulaScope transfère la distribution des couleurs d’une image de référence sur l’image affichée. Il possède deux modes d’application aux propriétés d’intégrité très différentes :

  1. Transport exact — les pixels sont réécrits à travers une application de transport optimal empirique (une nouvelle entrée de liste ; la source n’est jamais modifiée).
  2. Ajustement par étirement — aucun pixel n’est écrit : NebulaScope ajuste l’étirement d’affichage pour que la source ressemble au résultat transporté. La perte de données est nulle par construction.

Ce chapitre dérive les deux, et explique précisément pourquoi le mode 1 peut postériser et amplifier le bruit, et pourquoi le mode 2 ne le peut pas.

1. Le problème du transfert de distribution

Travaillons dans l’espace d’affichage : chaque pixel de la source est un vecteur couleur \(u \in [0,1]^3\) tiré d’une distribution \(\mu_s\) ; les pixels de la référence suivent \(\mu_r\). On cherche une application \(T : [0,1]^3 \to [0,1]^3\) telle que si \(u\) suit \(\mu_s\), alors \(T(u)\) suit \(\mu_r\) — ce qu’on note \(T_\# \mu_s = \mu_r\) (« \(T\) pousse \(\mu_s\) vers \(\mu_r\) »). Parmi toutes ces applications, le transport optimal choisit celle qui déplace le moins les couleurs, c’est-à-dire qui minimise \(\mathbb{E}\,\lVert T(u) - u \rVert^2\).

L’alignement des images est sans objet : seules comptent les deux distributions de couleurs — les images n’ont besoin ni de se recouvrir, ni d’avoir la même taille, ni même de montrer le même champ.

1.1 La dimension un se résout exactement

Pour des distributions scalaires de fonctions de répartition \(F_s\) et \(F_r\), l’application optimale est le réarrangement monotone classique

\[T = F_r^{-1} \circ F_s ,\]

c’est-à-dire que la valeur au quantile \(q\) de la source s’envoie sur la valeur de la référence au même quantile. C’est exactement une spécification d’histogramme, et c’est l’unique solution monotone.

1.2 Transport par tranches en dimension trois

Dans \(\mathbb{R}^3\) il n’existe pas de forme close, mais la solution 1-D peut être appliquée par tranches (le transfert de distribution itératif de Pitié et al., de la même famille que les méthodes de Wasserstein par tranches) : répéter, pour \(k = 1 \dots K\),

  1. tirer une rotation aléatoire \(R_k \in SO(3)\) ;
  2. projeter les deux nuages de points sur les trois axes tournés ;
  3. appliquer le réarrangement monotone 1-D indépendamment sur chaque axe ;
  4. appliquer la rotation inverse.

Chaque itération réduit l’écart entre la distribution courante et celle de la référence ; après \(K \approx 15\) passes, les marginales coïncident dans suffisamment de directions pour que les distributions 3-D complètes coïncident pour l’essentiel.

Notes d’implémentation. NebulaScope estime les applications sur au plus \(2 \times 10^5\) échantillons par image, restreints à la région visible de chaque vue (les détails hors écran ne doivent pas orienter la correspondance) et en excluant les pixels proches de la saturation (leurs couleurs sont inappariables). Chaque application 1-D est tabulée sur 1024 nœuds de quantiles avec interpolation linéaire, et la suite des rotations est initialisée de façon déterministe : les résultats sont reproductibles. Une force \(s \in [0,1]\) mélange le résultat avec l’original : \(u' = u + s\,(T(u) - u)\). Les paires d’images mono sautent le découpage en tranches et utilisent directement le réarrangement 1-D.

2. Pourquoi le transport exact dégrade les données

Deux artefacts sont inhérents au passage des pixels à travers une application empirique — aucun détail d’implémentation ne les supprime entièrement.

2.1 Postérisation par échantillons ex æquo

L’application empirique est construite sur des données finies et quantifiées. Là où de nombreux échantillons partagent une même valeur \(v\) (les ex æquo sont garantis dès que la source a un jour été entière), la fonction de répartition empirique saute : l’application envoie toute la série d’ex æquo sur une même sortie, et la valeur d’entrée distincte suivante atterrit un cran fini plus loin. L’histogramme transporté développe des trous et des pics — visibles comme du banding dans les dégradés doux. L’itération des tranches aggrave l’effet.

2.2 Amplification du bruit par la pente de l’application

Pour des densités lisses \(f_s, f_r\), la différentiation de \(F_r(T(v)) = F_s(v)\) donne la pente locale de l’application 1-D :

\[T'(v) \;=\; \frac{f_s(v)}{f_r\!\big(T(v)\big)} .\]

Les petites perturbations (le bruit) sont multipliées par cette pente : \(\sigma_\text{sortie} \approx T'(v)\,\sigma_\text{entrée}\). Partout où la distribution de la référence est localement plus fine que celle de la source — c’est-à-dire là où la référence a plus de contraste, précisément ce qu’on demandait — on a \(T' > 1\) et le bruit est étiré avec le signal. Épouser une référence contrastée amplifie donc nécessairement le bruit de fond, sous n’importe quelle spécification d’histogramme exacte.

3. L’ajustement par étirement : épouser l’apparence, pas les pixels

L’affichage de NebulaScope applique, par canal \(c\), un transfert paramétrique lisse à la valeur brute \(v\) :

\[D_c(v) \;=\; \mathrm{MTF}\!\big(W_c(v);\, m_c\big),\]

où le fenêtrage normalise et écrête,

\[W_c(v) \;=\; \operatorname{clip}_{[0,1]} \left( \frac{\dfrac{v - \ell_c}{h_c - \ell_c} - b_c}{w_c - b_c} \right),\]

avec la plage de données \([\ell_c, h_c]\) et les points noir/blanc \(b_c, w_c\), et où la fonction de transfert des tons moyens est la courbe rationnelle

\[\mathrm{MTF}(x; m) \;=\; \frac{(m-1)\,x}{(2m-1)\,x - m}, \qquad m_c = \frac{\mathrm{mid}_c - b_c}{w_c - b_c},\]

qui impose \(\mathrm{MTF}(0)=0\), \(\mathrm{MTF}(1)=1\) et \(\mathrm{MTF}(m)=\tfrac12\). Toute courbe de cette famille est lisse et strictement monotone sur la fenêtre.

L’ajustement. Soient \(t_i = T_c(u_i)\) les valeurs d’affichage transportées d’un échantillon de pixels et \(v_i\) les valeurs brutes correspondantes. L’ajustement par étirement résout, indépendamment par canal,

\[\min_{\,b_c,\ \mathrm{mid}_c,\ w_c}\; \sum_i \omega_i \Big( D_c(v_i;\, b_c, \mathrm{mid}_c, w_c) - t_i \Big)^{2}, \qquad \omega_i = 0.05 + t_i,\]

un problème de moindres carrés pondérés borné à trois paramètres. La pondération par l’intensité \(\omega_i\) est essentielle : les pixels de fond sont infiniment plus nombreux que les pixels de signal, et un ajustement non pondéré épouserait le ciel en négligeant la nébuleuse. Pondérer chaque résidu par la luminosité (avec plancher) de la cible fait gouverner l’ajustement par les couleurs du signal, tandis que le petit plancher maintient le point noir ancré. Les étoiles s’excluent au mieux à la source — faites correspondre des rendus sans étoiles des deux images. NebulaScope résout le problème par descente par coordonnées — quatre passes de recherches linéaires par section dorée sur \(b_c \in [0, w_c)\), \(w_c \in (b_c, 1]\), \(\mathrm{mid}_c \in (b_c, w_c)\) — sur jusqu’à \(6 \times 10^4\) paires d’échantillons. Le résidu quadratique moyen par canal est rapporté dans la barre d’état.

Le résultat n’est qu’un état d’étirement : il vit au même endroit que n’importe quel Auto STF, se compose avec copier/coller et Appliquer à tout, persiste dans le fichier annexe, et les données sous-jacentes restent intouchées.

3.1 Garanties

  • Perte de données nulle — rien n’est écrit ; le « résultat » est une vue.
  • Aucune postérisation — la courbe ajustée est lisse et strictement monotone ; il n’existe aucune marche empirique sur laquelle des ex æquo pourraient s’effondrer.
  • Comportement du bruit maîtrisé — la pente de la courbe est le \(D_c'(v)\) paramétrique lisse, exempt des pentes localement extrêmes qu’un rapport de densités empiriques peut produire.

3.2 Seconde étape : ajuster les réglages de couleur

En option, une seconde étape réduit l’écart de séparabilité. Les courbes par canal étant figées, NebulaScope ajuste les quatre réglages de couleur inter-canaux — température, teinte (tint), rotation de teinte (hue), saturation — en minimisant l’erreur pondérée par l’intensité sur les triplets RVB complets :

\[\min_{\theta}\; \sum_i \omega_i\, \big\lVert A_\theta\big(D(v_i)\big) - T(u_i) \big\rVert^2 ,\]

où \(A_\theta\) est l’opérateur d’ajustement. Ces quatre paramètres mélangent les canaux — précisément ce que font les rotations du transport par tranches et ce que des courbes séparables ne peuvent pas faire — de sorte que des cibles à rotation de teinte hors de portée de l’étape 1 deviennent atteignables. La barre d’état rapporte l’erreur RMS globale après cette étape ; l’annulation étant à une touche, essayer les deux variantes ne coûte rien.

3.3 L’écart d’approximation

La famille des étirements est séparable : trois courbes monotones indépendantes. L’application de transport optimal ne l’est en général pas — ses rotations mélangent les canaux, ce qui lui permet de faire tourner les teintes. La projection de \(T\) sur la famille séparable reproduit donc fidèlement l’équilibre global des couleurs et la tonalité, mais ne peut exprimer une rotation de teinte. L’erreur RMS par canal rapportée quantifie cet écart pour votre paire d’images ; quand il compte, le mode exact reste à une case à cocher.

4. En pratique

  • Boîte de dialogue : Outils ▸ Transporter les couleurs d’une référence…, cochez Appliquer comme ajustement d’étirement. Scripts : transport <ligne> [force%] stretch.
  • La force s’applique avant l’ajustement — l’ajustement vise le résultat mélangé.
  • Les deux modes sont annulables : le mode exact comme ajout d’entrée de liste, l’ajustement par étirement comme changement d’état d’étirement (⌘Z restaure l’étirement précédent).
  • L’ajustement absorbe l’affichage courant (ajustements compris) dans de nouvelles valeurs Linéaire noir/médian/blanc et remet les curseurs d’ajustement à zéro : ce que vous voyez juste après est la correspondance ajustée elle-même.
  • Juger l’erreur RMS : les valeurs sont en unités d’affichage sur \([0,1]\) ; l’expérience suggère qu’un ajustement sous \(\sim 0{,}02\) est visuellement convaincant, tandis que des résidus plus grands indiquent en général que la référence exigeait une rotation de teinte.

5. Annexe : fonctions d’affichage importées et recalage de Möbius

Quand un XISF porte l’étirement d’écran enregistré par l’application productrice (l’élément DisplayFunction — la STF de PixInsight), NebulaScope l’applique à la première visualisation. Un désaccord structurel doit être résolu : PI définit sa STF sur le conteneur normalisé \([0,1]\), si bien que son point blanc (typiquement \(h = 1\)) peut se trouver à une coordonnée fenêtrée \(1/k\) — souvent \(80\) à \(300\times\) — au-delà du maximum réel des données, alors que chaque contrôle de NebulaScope (tracé, poignées, champs de valeur, barre de couleurs) est paramétré sur la plage des données. Importée telle quelle, la poignée blanche se retrouverait à \(1/k\) largeurs de tracé hors écran.

Le fait structurel clé. La fonction de transfert des tons moyens

\[\mathrm{MTF}(x; m) \;=\; \frac{(m-1)\,x}{(2m-1)\,x - m}\]

est une transformation de Möbius fixant \(0\) et \(1\) ; réciproquement, la famille MTF est exactement l’ensemble des applications de Möbius monotones à ces deux points fixes — deux contraintes sur un groupe à trois paramètres laissent un degré de liberté, le pivot \(m\) (où la sortie vaut \(\tfrac12\)).

Restriction et renormalisation. Soit \(D(t) = \mathrm{MTF}(t; m)\) la courbe importée sur sa propre fenêtre, et \(k \in (0,1)\) la coordonnée fenêtrée du maximum des données. Restreignons aux données et rééchelonnons pour que le maximum des données s’affiche au niveau \(S\) :

\[g(t') \;=\; \frac{D(k\,t')}{D(k)}, \qquad t' \in [0,1].\]

Mettre l’argument à l’échelle (\(t = k\,t'\)) est de Möbius ; diviser par la constante \(D(k)\) est de Möbius ; la composée d’applications de Möbius est de Möbius — et par construction \(g(0)=0\), \(g(1)=1\). Donc \(g\) est encore une MTF : la famille est fermée par restriction-renormalisation, raison pour laquelle une forme close existe. Son pivot se retrouve par l’inverse en forme close

\[\mathrm{MTF}^{-1}(y; m) \;=\; \frac{m\,y}{(2m-1)\,y - m + 1}, \qquad m' \;=\; \frac{\mathrm{MTF}^{-1}\!\big(\tfrac{D(k)}{2};\, m\big)}{k}.\]

Aucun ajustement, aucun échantillonnage, aucune approximation : la courbe recalée égale l’originale sur toute valeur présente dans les données.

Couleur : un niveau commun. Rééchelonner chaque canal par son propre point terminal \(D_c(k_c)\) referait silencieusement la balance des blancs — défaisant précisément l’étalonnage (p. ex. SPCC) que le fichier enregistre. NebulaScope utilise donc un unique niveau commun

\[S \;=\; \max_c D_c(k_c),\]

qui place le nouveau blanc du canal \(c\) en \(\mathrm{MTF}^{-1}(S;\, m_c)\) : le blanc du canal le plus brillant tombe exactement sur son maximum de données (toutes les poignées sur le tracé) et chaque valeur affichée est divisée par le même \(S\),

\[D'_c(v) \;=\; \frac{D_c(v)}{S}\quad \text{pour toute donnée } v,\]

de sorte que les rapports entre canaux — teinte et balance étalonnée — sont préservés exactement. Le seul écart avec l’écran de l’application productrice est un facteur de luminosité uniforme \(1/S\) (typiquement moins de \(10\,\%\)), monotone et symétrique entre canaux.

Lectures : Pitié, Kokaram & Dahyot 2007 (le transfert de distribution itératif implémenté ici) ; Rabin et al. 2012 pour le point de vue Wasserstein par tranches — références complètes en bibliographie.

6. Annexe : le bloc d’affichage — un format d’apparence ouvert et reproductible

Tout ajustement d’étirement finit en nombres, et NebulaScope les écrit. Enregistrer les annotations et l’affichage stocke l’état d’affichage complet dans le fichier annexe de l’image (<image>_annotation.json) sous une clé display. Le bloc est du JSON simple avec un schéma déclaré, chaque champ correspond à une équation en forme close de ce livre, et une implémentation de référence autonome (tools/render_sidecar.py, NumPy seul, sans aucun code NebulaScope) reproduit le rendu de NebulaScope à partir de lui — vérifié en intégration continue à quelques ULP float32 près sur chaque pixel (tests/conformance/). C’est ce qui rend un étirement explicable (lire le bloc, savoir exactement ce qui a été fait) et reproductible dans d’autres logiciels (implémenter six courtes équations).

6.1 Le bloc

"display": {
  "schema": 1,
  "fn": "ghs",                       // linear | log | asinh | ghs
  "count": 3,                        // canaux pour lesquels l'état a été fait
  "channels": [                      // R, V, B (l'indice 0 sert au mono)
    { "lo": 0.0012, "hi": 0.9840,    // fenêtre de données (unités brutes)
      "black": 0.031, "mid": 0.118, "white": 1.0 },   // normalisés dans [lo,hi]
    { ... }, { ... }
  ],
  "ghs":    { "D": 1.6, "b": 6.0, "SP": 0.18, "LP": 0.0, "HP": 1.0 },
  "cmap": "gray", "cmapInvert": false, "cmapSplit": false, "split": 0.25,
  "adjust": { "blackpoint": 0, "whitepoint": 1, "shadows": 0,
              "highlights": 0, "brightness": 0, "contrast": 0, "gamma": 1,
              "temperature": 0, "tint": 0, "hue": 0,
              "saturation": 0, "vibrance": 0 }
}

schema est la version de ce bloc (indépendante de la version propre du fichier annexe) ; un lecteur doit refuser un schéma plus récent que celui qu’il connaît. Les énumérations sont stockées par nom, jamais par entier.

6.2 La chaîne, par canal \(c\) et valeur brute \(v\)

Fenêtre. Les poignées noir/milieu/blanc du canal vivent en coordonnées de fenêtre normalisées sur \([\mathrm{lo}_c, \mathrm{hi}_c]\) — c’est ce qui rend un état portable entre images de plages de données différentes :

\[t \;=\; \operatorname{clamp}_{[0,1]}\!\left( \frac{\dfrac{v-\mathrm{lo}_c}{\mathrm{hi}_c-\mathrm{lo}_c} - \mathrm{black}_c} {\mathrm{white}_c-\mathrm{black}_c}\right).\]

Transfert \(T(t)\), l’un de :

  • linear, log, asinh — une forme de base suivie de la fonction de transfert des tons moyens (§5) de pivot \(m_c = (\mathrm{mid}_c-\mathrm{black}_c)/(\mathrm{white}_c-\mathrm{black}_c)\), borné à \([0{,}001,\ 0{,}999]\) : \[T(t) = \mathrm{MTF}\big(s(t);\, m_c\big),\qquad s(t) = \begin{cases} t & \text{linear}\\ \ln(1+500t)/\ln 501 & \text{log}\\ \operatorname{asinh}(50t)/\operatorname{asinh}50 & \text{asinh}\end{cases}\]
  • ghs — une courbe maîtresse partagée par tous les canaux : l’intégrale cumulée normalisée de la pente d’étirement local \[\sigma(x) = D_e\,\big(1 + b\,D_e\,|x-\mathrm{SP}|\big)^{-(1+1/b)} \quad (b>0;\ \text{logarithmique } D_e/(1+|b|D_e|x-\mathrm{SP}|) \text{ pour } b<0,\ \text{exponentielle } D_e e^{-D_e|x-\mathrm{SP}|} \text{ pour } b=0),\] avec \(D_e = e^{D}-1\) et \(x\) borné à \([\mathrm{LP},\mathrm{HP}]\) avant d’évaluer \(\sigma\) (zones de protection linéaires) ; \(T(t) = \int_0^t \sigma \,/\, \int_0^1 \sigma\). NebulaScope l’évalue sur une grille trapézoïdale de 4096 points et interpole linéairement entre les nœuds ; une implémentation conforme fait de même, ce qui donne un accord au niveau de l’ULP plutôt qu’un simple accord visuel.

Ajustements de tonalité (monotones, par canal, composés dans \(T\)), dans cet ordre : re-fenêtrage point noir/point blanc, puis \(y \mathrel{+}= \mathrm{shadows}\cdot 2y(1-y)^2\), \(y \mathrel{+}= \mathrm{highlights}\cdot 2y^2(1-y)\), \(y \mathrel{+}= \mathrm{brightness}/2\), \(y = \tfrac12 + (y-\tfrac12)\tan\!\big((\mathrm{contrast}+1)\tfrac{\pi}{4}\big)\), bornage, puis \(y^{1/\gamma}\).

Ajustements de couleur (inter-canaux, RVB seulement), dans cet ordre : gains de balance des blancs \(R\,(1+0{,}30\,\mathrm{temp}+0{,}15\,\mathrm{tint}),\; G\,(1-0{,}30\,\mathrm{tint}),\; B\,(1-0{,}30\,\mathrm{temp}+0{,}15\,\mathrm{tint})\) ; la matrice standard de rotation de teinte à luminance préservée (les coefficients hue-rotate de SVG/CSS) de hue degrés ; puis saturation autour de la luma Rec.,709 \(Y\) : \(C = Y + (C-Y)\,f\) avec \(f = (1+\mathrm{saturation})\,(1+\mathrm{vibrance}\,(1-s))\), \(s\) la saturation TSV du pixel. Bornage à \([0,1]\).

Sortie. Le résultat est le rendu Float32 [0,1] (ce que Enregistrer l’image étirée sous… grave). L’image écran 8 bits en est l’arrondi sur 255 niveaux — NebulaScope ajoute à l’écran un tramage triangulaire de ±1 LSB, cosmétique d’affichage qui ne fait délibérément pas partie du format.

6.3 Lire un ajustement de transport

Un transport de couleurs non destructif (§3) n’est rien d’autre qu’un bloc d’affichage : les black/mid/white par canal qu’il a résolus, plus, quand l’ajustement couleur était activé, le vecteur adjust. Deux ajustements se comparent comme du JSON, et la différence se localise — fenêtrage contre teinte contre saturation — ce qui renseigne sur la façon dont les deux images diffèrent, et pas seulement sur une recette.

6.4 Portée et hors-champ de l’implémentation de référence

render_sidecar.py couvre les quatre fonctions de transfert, le fenêtrage par canal, tous les ajustements de tonalité et de couleur, mono et RVB. Les palettes en fausses couleurs (cmap autre que gray, ou les modificateurs inversion/scission) sont des tables 8 bits définies par points de contrôle dans src/core/Colormap.cpp, qui reste la référence à leur sujet ; une image mono avec palette active passe par le même étirement puis est indexée dans cette table.